?

Log in

No account? Create an account
 
 
16 May 2010 @ 04:11 pm
Теория Морса для всех  
Предлоложим, мы хотим описать форму какой-нибудь хитроумной колбы (гладкой, т.е. без углов и ребер, и замкнутой, т.е. запаянной). Для этого мы наливаем в нее жидкость (для наглядности лучше использовать окрашенную, например, морс) и следим за изменением формы заполненной части. Большую часть времени происходят только количественные изменения: уровень поднимается, но форма, по существу, остается прежней. Но в некоторые моменты происходит "качественный скачок". Таких моментов как минимум 2: когда мы начинаем наливать жидкость (до этого заполненная часть пустая, после этого --- нет), и когда заканчиваем (до этого у заполненной части есть граница, "зеркало" жидкости, после этого --- нет). Если наша колба сферическая, других "критических точек" и нет, но в общем случае их может быть больше (для бублика их, например, четыре).

Зафиксируем какую-нибудь критическую точку и будем лить морс прямо на нее. Посмотрим, по какой поверхности он начнет растекаться. Если точка в самом низу, он никуда не потечет, соответственно, "поверхность разлива" 0-мерная. Если в самом верху, он будет разливаться по всей колбе. Может быть и промежуточная ситуация: например, если колба образует "седло", струйка потечет по 1-мерной кривой. Дальше, мы можем посмотреть, куда он будет стекать: оказывается, тоже в критические точки. Тем самым, получается следующий набор данных: каждой критической точке мы ставим в соответствие некоторое натуральное число (размерность симплекса), и набор точек на единицу меньшей размерности, которые будут являться стоком для нашей поверхности разлива (граница симплекса). Полученный набор данных называется симплициальным комплексом.

Теория Морса говорит, что исходное многообразие полностью восстанавливается по полученному комплексу (возможно, для этого нужно чуть-чуть наклонить колбу, чтобы критические точки не слипались), а именно, гомеоморфно (не только гомотопически эквивалентно!) классифицирующему пространству этого комплекса.
 
 
 
эй, не уступайlangri_ksk on May 16th, 2010 06:40 pm (UTC)
>лучше использовать окрашенную, например, морс
и ведь не придерёшься :)
ecomathics on August 1st, 2010 11:17 am (UTC)
реклама в кампусах: "Морс - напиток настоящих Математиков"