?

Log in

No account? Create an account
 
 
25 September 2009 @ 11:32 pm
Что такое топология  
(По мотивам семинара под руководством А.Л. Смирнова в исполнении Н.В. Дурова)

Как объяснить инопланетянину (впрочем, Коля говорит, что можно с тем же успехом взять австралийского математика), что такое компактное топологическое пространство? Инопланетяне в совершенстве владеют теорией категорий, но абсолютно не обладают интуицией непрерывного.

Можно, конечно, было бы воспользоваться двойственностью Гельфанда, которая говорит, что компактные пространства двойственны C^*-алгебрам, но, к сожалению инопланетяне плохо понимают, что такое вещественные числа: для них это очень сложный абстрактный объект.

Другая идея --- воспользоваться двойственностью Стоуна. В классической формулировке она описывает двойственность между вполне несвязными компактными топологическими пространствами и булевыми алгебрами. Как избавиться от вполне несвязности?

Давайте рассмотрим функтор из категории множеств Sets в категорию, противоположную категории булевых алгебр Bool^{op}, который множеству X сопоставляет булеву алгебру подмножеств P(X). К нему есть правый сопряженный, который сопоставляет булевой алгебре B множество гомоморфизмов из B в булеву алгебру {0,1} (т.е. "спектр" булевой алгебры).

Раз есть пара сопряженных функторов, есть и монада, которая переводит каждое множество X в множество *X=Hom_{Bool}(P(X),{0,1}), который можно отождествить с множеством ультрафильтров на X. Напомним, что монада включает в себя операцию единицы e_X:X\to *X (это просто взятие главного ультрафильтра) и операцию умножения m_X:**X\to *X. Последнюю описать не так просто; сейчас мы к этому приступим.

Во-первых, как известно из теоремы Стоуна, на *X есть структура вполне несвязного компактного топологического пространства. Ее можно описать еще и так: *X --- это проективный предел всех конечных фактор-множеств X; взяв на каждом из них дискретную топологию, получаем проконечную топологию на *X. (Ультрафильтр --- это игра в наперстки на множестве X по следующим правилам. Некто задумал "элемент" X; мы можем дать ему любое конечное разбиение X, и тогда он ответит, в какой части лежит задуманный им элемент. При этом его ответы должны быть согласованы относительно перехода к подразбиениям. Если он задумал настоящий элемент X, получается главный ультрафильтр; если он водит нас за нос --- неглавный. Формальное описание этого процесса --- и есть взятие предела по всем конечным факторам.)

Пусть теперь есть элемент U в **X; это ультрафильтр на *X. Как известно, каждый ультрафильтр на компактном топологическом пространстве имеет единственный предел; m_X как раз и есть операция вычисления этого предела. Желающие могут написать формулу для m_X чисто в терминах теории множеств (это некоторая операция из подмножества P(P(P(P(X)))) в подмножество P(P(X)); она несложная, но попытка ее интерпретации приводит к выносу мозга).

Хорошо, раз есть монада, можно рассмотреть модули над этой монадой. Модуль над * --- это множество X вместе с операцией a_X:*X\to X, удовлетворяющая некоторым естественным аксиомам. Говоря неформально, a_X --- операция вычисления предела любого ультрафильтра на X. Оказывается, так оно и есть: модуль над * --- в точности компактное топологическое пространство, а a_X сопоставляет ультрафильтру U его предел в X.

В качестве бесплатного приложения получаем, что любая компакт является фактором некоторого вполне несвязного компакта (например, пространства ультрафильтров на себе).

Резюмируя, можем сказать, что структура компактного пространства не очень отличается от алгебраических структур: она тоже задается монадой (правда, в отличие от алгебраической ситуации не задающейся своими значениями на конечных множествах, причем совсем не задающейся). При этом основной операцией в компакте является взятие предела ультрафильтра.
 
 
 
эй, не уступайlangri_ksk on September 26th, 2009 03:43 pm (UTC)
Витя, не то чтобы я совсем всё поняла, но ясностью твоего изложения не перестаю восхищаться =)
эй, не уступайlangri_ksk on September 26th, 2009 03:44 pm (UTC)
туда же: как говорит один наш с тобой общий знакомый, "кто ясно мыслит, ясно излагает".
viktorpetrov on September 26th, 2009 03:47 pm (UTC)
Спасибо! Впрочем, можно заметить (по несогласованию прилагательных и существительных по родам), что я очень торопился: хотелось побыстрее поделиться переживанием :)
эй, не уступайlangri_ksk on September 27th, 2009 06:16 pm (UTC)
да, что пальцы думали быстрее, чем голова, кое-где было заметно :))
9000 on September 6th, 2010 06:14 pm (UTC)
Кстати, не "мыслью", а "переживанием" — это пять :)
dmitri_pavlov on September 28th, 2009 02:56 pm (UTC)
Родственный интересный вопрос — как можно описать некомпактные пространства категорными методами?
Для случая компактно-порождённых пространств можно сказать, что
их категория — это категория индуктивных объектов в категории компактных пространств
(которые мы уже умеем описывать).
По совместительству, категория компактно-порождённых пространств — эта
та самая категория, которую так любят алгебраические топологи
за её свойств (декартова замкнутость, например).
А на языке C*-алгебр ей соответствует категория проективных
объектов в категории коммутативных унитальных C*-алгебр.
В связи с этим интересен вопрос: можно ли построить
модельную (или ещё какую-нибудь гомотопическую) структуру на категории
проективных объектов в категории уже не обязательно коммутативных
унитальных C*-алгебр?… И что будет гомотопической категорией в этом случае?…

А вот для обычных топологических пространств я ничего такого не знаю.
Возможно, это не просто так — ведь у категории топологических
пространств нет хороших категорных свойств.
Она, впрочем, вкладывается как полная подкатегория категории
псевдотопологических пространтсв (которые определяются как множества
с операцией пределя для некоторых ультрафильтров).
У последней есть хорошие категорные свойства (вроде декартовой замкнутости),
возможно её тоже можно как-то охарактеризовать?
viktorpetrov on October 8th, 2009 12:31 pm (UTC)
Оффтопик: ты тоже в Институте Макса Планка? Надолго?
dmitri_pavlov on October 8th, 2009 01:41 pm (UTC)
До 21 декабря — как аспирант директора.
Falcão: тигрfalcao on June 3rd, 2010 09:37 pm (UTC)
косвенные описания
Меня заинтересовал сам "сюжет", то есть я люблю такого рода примеры. Я сюда включаю что-то даже совсем простое. Например, как без геометрии объяснить, что такое число "пи"? Возможный вариант ответа: это первый нетривиальный ноль функции, у которой вторая производная противоположна самой функции, и которая в нуле равна нулю.

Или есть ещё такое упражение (или серия упражнений) по восстановлению геометрии плоскости по группе её движений. Скажем, "точки" однозначно соответствуют центральным симметриям, а последние суть элементы порядка 2, являющиеся квадратами элементов группы. И так далее. "Прямая" -- это будет элемент с теми же свойствами, но только там он не должен быть квадратом. Отношение инцидентности -- это коммутирование, и так далее.

Там наиболее интересно (хотя и не слишком сложно) определение отношения "между" (или чего-то равноценного типа понятия "отрезка").

Ваш замысел слишком сложен для меня, чтобы я его смог понять "в первом чтении" даже на уровне постановки вопроса. То есть я пока не увоил "правил игры". Цель мне понятна -- задать свойство компактности, не используя каких-то средств. Но я пока не осознал как следует, что делать заведомо разрешается.

Сейчас у меня временный "цейтнот", но позже я хотел бы вернуться к этому посту.
viktorpetrov on June 4th, 2010 01:26 am (UTC)
Re: косвенные описания
Такое определение pi я слышал все от того же Коли Дурова :)

Что касается проективной геометрии, я предпочитаю действовать в стиле Титса: описывать точки как максимальные параболические подгруппы одного класса сопряженности в PGL_3, а прямые --- другого. Отношение инцидентности выражается тем, что параболические пересекаются по борелевской подгруппе. Все это можно изложить на элементарном групповом языке в терминах BN-пар. Конечно, Титс это придумывал ровно с обратной целью: свести изучение простых алгебраических групп к некоторым "геометриям" (Муфанговым полигонам и билдингам).