?

Log in

No account? Create an account
 
 
05 November 2010 @ 07:21 pm
Раздутие в дифференциальной топологии  
 Обычно раздутие проходят в курсе алгебраической геометрии, причем раздутие проективного пространства в точке обсуждается подробно, а вот раздутие подмногообразия вдоль многообразия --- или через кольцо Ри (что корректно, но не дает геометрической интуиции), либо с использованием неканонического вложения в проективное пространство, что противоречит эстетическому чувству. Громов заметил, что конструкция может быть наглядно и естественно проведена в категории гладких многообразий (так что ее первоначальное открытие в АГ --- исторический курьез); об этом и поговорим.

Рассмотрим гладкое многообразие X и замкнутое гладкое компактное подмногообразие Z в нем. К точке z из Z можно приближаться по разным направлениям; мы хотим заменить Z на нечто, что помнит не только точку, но и направление. Формализация этого понятия --- проективизация нормального расслоения P(N_{X/Z}); она состоит из пар (z,l), где z --- точка на Z, l --- прямая, проходящая через z и определяющая направление. На P(N_{X/Z}) есть тавтологическое расслоение E: над точкой (z,l) висит прямая l. Таким образом, тотальное пространство E состоит из троек (z,l,p), где (z,l) --- как выше, а p --- точка на l (так что мы теперь помним не только точку и направление, но еще и расстояние, которое мы прошли по этому направлению).

Стоп, а не лишний ли параметр l? Ведь l проходит через z и p! Да, лишний, за исключением того случая, когда z=p (нулевое сечение E). Таким образом, E с выкинутым нулевым сечением изоморфно N_{Z/X} с выкинутым нулевым сечением, причем нулевое сечение N_{X/Z} совпадает с Z, а нулевое сечение E --- с P(N_{X/Z}).

Ура, мы заменили Z на P(N_{X/Z}), вот только сделали это внутри N_{X/Z}, а не внутри X. На помощь придет трубчатая окрестность. Вспомним, что тройка (z,l,p) помнит расстояние, которое мы прошли вдоль l; но если это расстояние меньше маленького \epsilon, все такие точки p, рассматриваемые как точки на X, будут различны (при условии, конечно, что p\ne z). Таким образом, в X и в P(N_{X/Z}) есть окрестности с изоморфными границами; теперь можно вырезать из X эту трубчатую окрестность и вместо нее приклеить по границе окрестность внутри P(N_{X/Z}). Получившаяся штука и будет раздутим Bl_{X/Z}.

Интересно, что в алгебраической геометрии можно проделать почти буквально то же самое, только слово "трубчатая окрестность" заменить на "формальная окрестность", а вырезание и приклеивание --- на формальную склейку. Простейший пример формальной склейки таков: если есть кольцо R и элемент s, то задать модуль над R --- все равно, что задать модуль над пополнением \hat R и локализацией R_s, и их изоморфизм над \hat R_s. При этом R_s --- аналог дополнения X\Z, а \hat R --- аналог "инфинитезимальной" трубчатой окрестности Z в X (т.е. случай, когда \epsilon --- актуальная бесконечно малая, как сказал бы любитель нестандартного анализа).
 
 
 
beroalberoal on November 7th, 2010 05:24 am (UTC)
Раздутие — это не blowing up по-английски?
viktorpetrov on November 8th, 2010 11:03 am (UTC)
Ага. В старых книжках его еще называют \sigma-процессом или моноидальным преобразованием.
Никита Калининnikaan on November 7th, 2010 12:00 pm (UTC)
ну... Можно делать. Я не знаю АГ, но, кажется, там раздувают особенности. Тут же можно только подмногообразия - причём с неясными целями. Blow-up тоже делают - это связная сумма с CP^2.

Так что я пока не понимаю, что за роль у раздутия в дифф. топологии.
(Deleted comment)
viktorpetrov on August 16th, 2011 04:04 pm (UTC)
Честно говоря, я подумал, что Вы робот. В любом случае, мат в своем журнале я буду стирать.
(Deleted comment)
viktorpetrov on August 16th, 2011 04:29 pm (UTC)
Что зачем? Зачем нужны раздутия? Зачем нужна математика? Зачем мы живем?
(Deleted comment)
viktorpetrov on August 16th, 2011 04:37 pm (UTC)
Ну я могу сказать, что раздутие было придумано для разрешения особенностей, но следующий вопрос будет "зачем нужно разрешение особенностей", верно? И на это я могу ответить, но появится следующий вопрос и т.д. Так что давайте сразу перейдем к "зачем мы живем". :)
(Deleted comment)
viktorpetrov on August 16th, 2011 05:27 pm (UTC)
"Зануда --- это человек, который на вопрос "Как дела?" начинает отвечать, как у него идут дела :)". Вы действительно хотели услышать популярное изложение? Могу тогда посоветовать начать с википедии: http://en.wikipedia.org/wiki/Blowing_up
illusoryshadow on November 27th, 2013 11:04 pm (UTC)
\\Формализация этого понятия --- проективизация нормального расслоения P(N_{X/Z}); она состоит из пар (z,l), где z --- точка на Z, l --- прямая, проходящая через z и определяющая направление. На P(N_{X/Z}) есть тавтологическое расслоение E: над точкой (z,l) висит прямая l. Таким образом, тотальное пространство E состоит из троек (z,l,p), где (z,l) --- как выше, а p --- точка на l (так что мы теперь помним не только точку и направление, но еще и расстояние, которое мы прошли по этому направлению).

Стоп, а не лишний ли параметр l? Ведь l проходит через z и p! Да, лишний, за исключением того случая, когда z=p (нулевое сечение E). Таким образом, E с выкинутым нулевым сечением изоморфно N_{Z/X} с выкинутым нулевым сечением, причем нулевое сечение N_{X/Z} совпадает с Z, а нулевое сечение E --- с P(N_{X/Z}).\\

Кажется, Арнольд описывает раздутие в точке почти в тех же терминах то ли просто в курсе ОДУ, то ли, что вероятнее, в "Дополнительных главах" ДУ. Но у него, конечно, с картинками.