Оригинал взят у m_a_t_i_s в Найден ребенок!

Оригинал взят у av_volkov в Поддержим нашего Патриарха!

 Обычно раздутие проходят в курсе алгебраической геометрии, причем раздутие проективного пространства в точке обсуждается подробно, а вот раздутие подмногообразия вдоль многообразия --- или через кольцо Ри (что корректно, но не дает геометрической интуиции), либо с использованием неканонического вложения в проективное пространство, что противоречит эстетическому чувству. Громов заметил, что конструкция может быть наглядно и естественно проведена в категории гладких многообразий (так что ее первоначальное открытие в АГ --- исторический курьез); об этом и поговорим.

Рассмотрим гладкое многообразие X и замкнутое гладкое компактное подмногообразие Z в нем. К точке z из Z можно приближаться по разным направлениям; мы хотим заменить Z на нечто, что помнит не только точку, но и направление. Формализация этого понятия --- проективизация нормального расслоения P(N_{X/Z}); она состоит из пар (z,l), где z --- точка на Z, l --- прямая, проходящая через z и определяющая направление. На P(N_{X/Z}) есть тавтологическое расслоение E: над точкой (z,l) висит прямая l. Таким образом, тотальное пространство E состоит из троек (z,l,p), где (z,l) --- как выше, а p --- точка на l (так что мы теперь помним не только точку и направление, но еще и расстояние, которое мы прошли по этому направлению).

Стоп, а не лишний ли параметр l? Ведь l проходит через z и p! Да, лишний, за исключением того случая, когда z=p (нулевое сечение E). Таким образом, E с выкинутым нулевым сечением изоморфно N_{Z/X} с выкинутым нулевым сечением, причем нулевое сечение N_{X/Z} совпадает с Z, а нулевое сечение E --- с P(N_{X/Z}).

Ура, мы заменили Z на P(N_{X/Z}), вот только сделали это внутри N_{X/Z}, а не внутри X. На помощь придет трубчатая окрестность. Вспомним, что тройка (z,l,p) помнит расстояние, которое мы прошли вдоль l; но если это расстояние меньше маленького \epsilon, все такие точки p, рассматриваемые как точки на X, будут различны (при условии, конечно, что p\ne z). Таким образом, в X и в P(N_{X/Z}) есть окрестности с изоморфными границами; теперь можно вырезать из X эту трубчатую окрестность и вместо нее приклеить по границе окрестность внутри P(N_{X/Z}). Получившаяся штука и будет раздутим Bl_{X/Z}.

Интересно, что в алгебраической геометрии можно проделать почти буквально то же самое, только слово "трубчатая окрестность" заменить на "формальная окрестность", а вырезание и приклеивание --- на формальную склейку. Простейший пример формальной склейки таков: если есть кольцо R и элемент s, то задать модуль над R --- все равно, что задать модуль над пополнением \hat R и локализацией R_s, и их изоморфизм над \hat R_s. При этом R_s --- аналог дополнения X\Z, а \hat R --- аналог "инфинитезимальной" трубчатой окрестности Z в X (т.е. случай, когда \epsilon --- актуальная бесконечно малая, как сказал бы любитель нестандартного анализа).

Навеяно вот этим: terrytao.wordpress.com/2010/03/19/a-computational-perspective-on-set-theory/

Напомню, что ультрафильтр на множестве --- это элемент его проконечного пополнения. Иначе говоря, можно себе представлять, что некто задумал "элемент" множества, и умеет для каждого конечного разбиения множества непротиворечивым образом отвечать на вопрос, в каком из элементов разбиения этот элемент лежит. Если элемент настоящий --- ультрафильтр называется главным, если некто водит нас за нос --- неглавным. Очевидно, что на конечном множестве все ультрафильтры главные, а на бесконечном нет, но явной их конструкции не существует (используется аксиома выбора).

Теперь представим, что мы имеем право задавать только конечное (хоть и сколь угодно большое) число вопросов. Тогда ситуация меняется. Вот пример конструктивного "ультрафильтра" на натуральных числах:

1. У нас есть переменная S; сначала S --- это все множество натуральных чисел; S всегда будет бесконечным.
2. При каждом вопросе мы смотрим, с каким из элементов разбиения S пересекается по бесконечному множеству (если таких несколько, выбираем, например, элемент разбиения, содержащий наименьшее число).
3. Заменяем S на пересечение и возвращаем выбранный элемент разбиения.

Легко видеть, что получающиеся ответы будут непротиворечивы (хотя ответ на каждый следующий вопрос зависит от предыдущих).

Эта конструкция, в частности, показывает, что аксиома о существовании ультрафильтра совместима с ZF (без аксиомы выбора). Действительно, любое доказательство противоречия содержит лишь конечное число шагов. Аккуратная запись этой идеи приводит к методу форсинга, при помощи которого, в частности, Коэн доказал независимость гипотезы континуума.

Предлоложим, мы хотим описать форму какой-нибудь хитроумной колбы (гладкой, т.е. без углов и ребер, и замкнутой, т.е. запаянной). Для этого мы наливаем в нее жидкость (для наглядности лучше использовать окрашенную, например, морс) и следим за изменением формы заполненной части. Большую часть времени происходят только количественные изменения: уровень поднимается, но форма, по существу, остается прежней. Но в некоторые моменты происходит "качественный скачок". Таких моментов как минимум 2: когда мы начинаем наливать жидкость (до этого заполненная часть пустая, после этого --- нет), и когда заканчиваем (до этого у заполненной части есть граница, "зеркало" жидкости, после этого --- нет). Если наша колба сферическая, других "критических точек" и нет, но в общем случае их может быть больше (для бублика их, например, четыре).

Зафиксируем какую-нибудь критическую точку и будем лить морс прямо на нее. Посмотрим, по какой поверхности он начнет растекаться. Если точка в самом низу, он никуда не потечет, соответственно, "поверхность разлива" 0-мерная. Если в самом верху, он будет разливаться по всей колбе. Может быть и промежуточная ситуация: например, если колба образует "седло", струйка потечет по 1-мерной кривой. Дальше, мы можем посмотреть, куда он будет стекать: оказывается, тоже в критические точки. Тем самым, получается следующий набор данных: каждой критической точке мы ставим в соответствие некоторое натуральное число (размерность симплекса), и набор точек на единицу меньшей размерности, которые будут являться стоком для нашей поверхности разлива (граница симплекса). Полученный набор данных называется симплициальным комплексом.

Теория Морса говорит, что исходное многообразие полностью восстанавливается по полученному комплексу (возможно, для этого нужно чуть-чуть наклонить колбу, чтобы критические точки не слипались), а именно, гомеоморфно (не только гомотопически эквивалентно!) классифицирующему пространству этого комплекса.

(По мотивам семинара под руководством А.Л. Смирнова в исполнении Н.В. Дурова)

Как объяснить инопланетянину (впрочем, Коля говорит, что можно с тем же успехом взять австралийского математика), что такое компактное топологическое пространство? Инопланетяне в совершенстве владеют теорией категорий, но абсолютно не обладают интуицией непрерывного.

Можно, конечно, было бы воспользоваться двойственностью Гельфанда, которая говорит, что компактные пространства двойственны C^*-алгебрам, но, к сожалению инопланетяне плохо понимают, что такое вещественные числа: для них это очень сложный абстрактный объект.

Другая идея --- воспользоваться двойственностью Стоуна. В классической формулировке она описывает двойственность между вполне несвязными компактными топологическими пространствами и булевыми алгебрами. Как избавиться от вполне несвязности?

Давайте рассмотрим функтор из категории множеств Sets в категорию, противоположную категории булевых алгебр Bool^{op}, который множеству X сопоставляет булеву алгебру подмножеств P(X). К нему есть правый сопряженный, который сопоставляет булевой алгебре B множество гомоморфизмов из B в булеву алгебру {0,1} (т.е. "спектр" булевой алгебры).

Раз есть пара сопряженных функторов, есть и монада, которая переводит каждое множество X в множество *X=Hom_{Bool}(P(X),{0,1}), который можно отождествить с множеством ультрафильтров на X. Напомним, что монада включает в себя операцию единицы e_X:X\to *X (это просто взятие главного ультрафильтра) и операцию умножения m_X:**X\to *X. Последнюю описать не так просто; сейчас мы к этому приступим.

Во-первых, как известно из теоремы Стоуна, на *X есть структура вполне несвязного компактного топологического пространства. Ее можно описать еще и так: *X --- это проективный предел всех конечных фактор-множеств X; взяв на каждом из них дискретную топологию, получаем проконечную топологию на *X. (Ультрафильтр --- это игра в наперстки на множестве X по следующим правилам. Некто задумал "элемент" X; мы можем дать ему любое конечное разбиение X, и тогда он ответит, в какой части лежит задуманный им элемент. При этом его ответы должны быть согласованы относительно перехода к подразбиениям. Если он задумал настоящий элемент X, получается главный ультрафильтр; если он водит нас за нос --- неглавный. Формальное описание этого процесса --- и есть взятие предела по всем конечным факторам.)

Пусть теперь есть элемент U в **X; это ультрафильтр на *X. Как известно, каждый ультрафильтр на компактном топологическом пространстве имеет единственный предел; m_X как раз и есть операция вычисления этого предела. Желающие могут написать формулу для m_X чисто в терминах теории множеств (это некоторая операция из подмножества P(P(P(P(X)))) в подмножество P(P(X)); она несложная, но попытка ее интерпретации приводит к выносу мозга).

Хорошо, раз есть монада, можно рассмотреть модули над этой монадой. Модуль над * --- это множество X вместе с операцией a_X:*X\to X, удовлетворяющая некоторым естественным аксиомам. Говоря неформально, a_X --- операция вычисления предела любого ультрафильтра на X. Оказывается, так оно и есть: модуль над * --- в точности компактное топологическое пространство, а a_X сопоставляет ультрафильтру U его предел в X.

В качестве бесплатного приложения получаем, что любая компакт является фактором некоторого вполне несвязного компакта (например, пространства ультрафильтров на себе).

Резюмируя, можем сказать, что структура компактного пространства не очень отличается от алгебраических структур: она тоже задается монадой (правда, в отличие от алгебраической ситуации не задающейся своими значениями на конечных множествах, причем совсем не задающейся). При этом основной операцией в компакте является взятие предела ультрафильтра.